- maruc đã viết:
- cho x y z >0 x+y+z=1. tim min cua x^2+y^2+z^2+4xyz
do x,y,z > 0 và x+y+z = 1 nên phải có ít nhất 1 số ≥ 1/3
vì nếu x, y, z < 1/3 => x+y+z < 1 trái giả thiết ; giả sử z là số lớn nhất: có z ≥ 1/3
=> (z - 1/3)xy = xyz - xy/3 ≥ 0 => 4xyz ≥ 4xy/3
P = x²+y²+z² + 4xyz ≥ x² + y² + z² + 4xy/3 = (x+y)² - 2xy + z² + 4xy/3
3P ≥ 3(1-z)² + 3z² - 2xy
mặt khác bđt côsi: (x+y)² ≥ 4xy => (1-z)² ≥ 4xy => -4xy ≥ -(1-z)²
vậy: 6P ≥ 6(1-z)² + 6z² - 4xy ≥ 6(1-z)² + 6z² - (1-z)² = 5(1-z)² + 6z²
6P ≥ 11z² - 10z + 5 = 3z² - 10z + 3 + 7z² + 2 = (3z -1)(z+3) + 7z² + 2
do z ≥ 1/3 nên 3z-1 ≥ 0 => (3z-1)(z+3) ≥ 0 ; 7z² ≥ 7/9
=> 6P ≥ 0 + 7/9 + 2 = 26/9 => P ≥ 13/27
minP = 13/27 ; đạt khi z = 1/3; x = y = 1/3